Question

Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 1635 фотографий больше, чем Маша. а) Могло ли это произойти за 5 дней? б) Могло ли это произойти за 6 дней? в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 30 фотографий?

Answer 1

В 1 день Маша сделала М фотографий, а Наташа Н фотографий.

Во 2 день (М+1) и (Н+1).

В 3 день (М+2) и (Н+2).

В 4 день (М+3) и (Н+3).

В 5 день (М+4) и (Н+4).

В 6 день (М+5) и (Н+5).

а) Всего за 5 дней они сделали 5М+10 и 5Н+10 фотографий.

Разность составляет

(5Н+10) - (5М+10) = 5(Н-М) = 1635

Н - М = 1635/5 = 327

Да, на 5 день это могло быть.

б) Всего за 6 дней они сделали (6М+15) и (6Н+15). Разность

(6Н+15) - (6М+15) = 6(Н-М) = 1635

Но 1635 не делится на 6, поэтому на 6 день этого быть не могло.

в) За k дней Наташа сделала на 1635 фото больше Маши.

k(H - M) = 1635 = 3*5*109

Так как в последний день Маша сделала меньше 30 фото, то и дней было меньше 30. То есть 3, 5 или 3*5 = 15.

1) При k = 3 дня.

H - M = 5*109 = 545

Количество фото в последний 3 день: a(3) = M + 2 < 30

M < 28, максимум M = 27, тогда Н = 545 + М = 545 + 27 = 572

А всего Наташа сняла 572 + 573 + 574 = 1719 фото

2) При k = 5 дней

H - M = 3*109 = 327

Количество фото в последний 5 день: a(3) = M + 4 < 30

M < 26, максимум M = 25, тогда Н = 327 + М = 327 + 25 = 352

А всего Наташа сняла 352+353+354+355+356 = 1770 фото

3) k = 15 дней

H - M = 109

Количество фото в последний 15 день: a(15) = M + 14 < 30

M < 16, максимум M = 15, тогда Н = 109 + М = 109 + 15 = 124

На 15 день Наташа сняла a(15) = 124 + 14 = 138

А всего Наташа сняла

S(15) = (a(1) + a(15))*15/2 = (124+138)*15/2 = 262*15/2 = 1965 фото.

Ответ: а) Могло, б) Не могло, в) 1965 фото

Answer 2

а) Давайте посмотрим, возможно ли это произойти за 5 дней. Пусть Маша сделала x фотографий в первый день. Тогда Наташа сделала x + 1 фотографию в первый день. За пять дней Маша сделала x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) фотографий, а Наташа сделала x + 1 + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) фотографий. Условие задачи говорит нам, что Наташа сделала на 1635 фотографий больше, чем Маша. Поэтому мы можем записать уравнение:

(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) = (x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4)) + 1635

Раскроем скобки:

5x + 15 = 5x + 10 + 1635

Упростим:

5x + 15 = 5x + 1645

Вычтем 5x из обеих частей уравнения:

15 = 1645

Так как уравнение стало неверным, мы видим, что это условие не может быть выполнено за 5 дней.

б) Рассмотрим теперь возможность произойти за 6 дней. Пусть Маша сделала x фотографий в первый день. Тогда Наташа сделала x + 1 фотографию в первый день. За шесть дней Маша сделала x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) фотографий, а Наташа сделала x + 1 + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6) фотографий. Условие задачи говорит нам, что Наташа сделала на 1635 фотографий больше, чем Маша. Поэтому мы можем записать уравнение:

(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6) = (x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5)) + 1635

Раскроем скобки:

6x + 21 = 6x + 15 + 1635

Упростим:

6x + 21