Question

Каким должно быть среднее число изюминок в булочке, чтобы с вероятностью 0,99 каждая булочка содержала хотя бы одну изюминку? (Предполагается, что число изюминок в булочках распределено по закону Пуассона) Ответ должен получиться 4,6

Answer 1

Закон Пуассона: P(X=n) = λⁿ * exp(-λ) / n!

Вероятность, что булочка содержит хоть 1 изюминку:

P(X≥1) = 1 - P(X=0) = 1 - exp(-λ) = 0.99

exp(-λ) = 0.01

λ = -ln(0.01) = 4.6

Среднее число изюминок равно математическому ожиданию случайной величины. Для закона Пуассона

E(X) = λ = 4.6

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать распределение Пуассона, которое хорошо подходит для моделирования числа редких событий.

Пусть λ будет средним числом изюминок в булочке. Вероятность того, что булочка не содержит изюминку, равна P(0; λ) = e^(-λ), где e - основание натурального логарифма (примерно 2,71828). Тогда вероятность того, что булочка содержит хотя бы одну изюминку, равна 1 минус вероятность того, что булочка не содержит ни одной изюминки:

P(хотя бы одна изюминка) = 1 - P(0; λ) = 1 - e^(-λ)

Мы хотим, чтобы эта вероятность была равна 0,99:

1 - e^(-λ) = 0,99

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение λ:

e^(-λ) = 0,01

Избавимся от экспоненты, применив логарифм к обеим сторонам:

-λ = ln(0,01)

Теперь умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

λ = -ln(0,01)

Вычислим значение логарифма:

λ ≈ -ln(0,01) ≈ 4,605

Таким образом, среднее число изюминок в булочке должно быть примерно 4,605, чтобы с вероятностью 0,99 каждая булочка содержала хотя бы одну изюминку. Округлим это значение до одной десятой:

Среднее число изюминок ≈ 4,6