Question

Докажите, что четырехугольник является параллелограммом A=(3;-1;2) B=(1;2;-1) C=(-1;1;-3) D=(3;-5;3)

Answer 1

Дан  четырехугольник с вершинами в точках:
 A=(3;-1;2), B=(1;2;-1), C=(-1;1;-3), D=(3;-5;3).

Доказательство, что он параллелограмм - равенство и параллельность противоположных сторон.

Расстояние между точками определяем по формуле:
   d = √ ((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).
АВ = √((1-3)²+(2+1)²+(-1-2)²) = √(4+9+9) = √22. 
ВС = √((-1-1)²+(1-2)²+(-3+1)²) = √(4+1+4) = √9 = 3.
СД = √((3+1)²+(-5-1)²+(3+3)²) = √(16+36+36) = √88.
АД = √((3-3)²+(-5+1)²+(3-2)²) = √(0+16+1) = √17.
Как видим, по первому признаку заданный четырёхугольник - не параллелограмм.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно проверить выполнение двух условий:

1. Противоположные стороны параллельны.
2. Противоположные стороны равны по длине.

Для этого можно использовать векторное вычисление и проверить, что векторы AB и CD параллельны, а также векторы AD и BC параллельны. Если оба условия выполняются, то четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Вычислим векторы AB, CD, AD и BC:

AB = B - A = (1; 2; -1) - (3; -1; 2) = (-2; 3; -3) CD = D - C = (3; -5; 3) - (-1; 1; -3) = (4; -6; 6) AD = D - A = (3; -5; 3) - (3; -1; 2) = (0; -4; 1) BC = C - B = (-1; 1; -3) - (1; 2; -1) = (-2; -1; -2)

Теперь проверим, что AB || CD и AD || BC. Для этого нужно убедиться, что векторное произведение между AB и CD равно нулю, а также векторное произведение между AD и BC также равно нулю.

AB × CD = (-2; 3; -3) × (4; -6; 6) = (18; 6; 6) - (18; -12; 6) + (12; 0; 6) = (12; -6; 0) ≠ (0; 0; 0)

AD × BC = (0; -4; 1) × (-2; -1; -2) = (-4; 0; 8) - (2; 0; 0) = (-6; 0; 8) ≠ (0; 0; 0)

Таким образом, векторные произведения AB × CD и AD × BC не равны нулю, что означает, что стороны AB и CD, а также стороны AD и BC не параллельны.

Следовательно, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.