Question

Найдите наибольшее значение функции у=корень(36-16х-х^2)

Answer 1

$y=\sqrt{36-16x-x^2}=\sqrt{-64-16x-x^2+100}=\sqrt{100-(x+8)^2}$

Данная функция убывающая, и достигает своего максимума в точке вершины параболы $100-(x+8)^2$, т.е. в точке (-8;10)

Наибольшее значение функции: 10

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции у = корень(36 - 16х - х²), мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцирование поможет нам найти экстремумы функции, включая ее максимальное значение.

Для начала найдем производную функции у по х. Для этого возьмем производные от каждого слагаемого и применим правила дифференцирования:

у' = (1/2)*(36 - 16х - х²)^(-1/2) * (-16 - 2х)

Затем найдем точки, где производная равна нулю, чтобы найти критические точки функции у. Решим уравнение:

(1/2)*(36 - 16х - х²)^(-1/2) * (-16 - 2х) = 0

Упростим это уравнение:

-16 - 2х = 0

2х = -16

х = -8

Теперь, чтобы определить, является ли эта критическая точка максимумом, минимумом или точкой перегиба, мы должны проанализировать знаки производной в окрестности этой точки.

Вычислим значения у' при х = -9 и х = -7:

у'(-9) ≈ -0.303 у'(-7) ≈ 0.303

Мы видим, что у' меняет знак с отрицательного на положительный при переходе от х = -9 к х = -7. Это означает, что функция имеет локальный минимум при х = -8.

Теперь найдем значение у при х = -8, чтобы найти наибольшее значение функции:

у(-8) = корень(36 - 16*(-8) - (-8)²) = корень(36 + 128 - 64) = корень(100) = 10

Таким образом, наибольшее значение функции у = корень(36 - 16х - х²) равно 10, и достигается оно при х = -8.