Question

Найдите периметр треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с разностью 7, если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 40.

Answer 1

Пусть стороны: а, а+3, а+6. Тогда
Р=а+а+3+а+6=3а+9, р=Р/2=(3а+9)/2
r*R=180
r=S/p, R=abc/4S
S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
Подставив вместо a,b,c данные стороны в формулы радиусов, получим:

r= \sqrt{(a-3)(a+9)/12}

R=a(a+6)/ \sqrt{3(a+9)(a-3}

r*R= \sqrt{ \frac{(a-3)(a+9}{12} } * \frac{a(a+6)}{ \sqrt{3(a+9)(a-3)} } = \frac{a(a+6)}{6}=180
Получаем квадратное уравнение:
a^2+6a-1080=0
Решаем, получаем корни: а=30, а=-36. Берем только положительный.
Р=3*30+9=9

Answer 2

Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию с первым членом a, вторым членом a + 7 и третьим членом a + 14.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

Периметр = a + (a + 7) + (a + 14) = 3a + 21

Также известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 40. Обозначим радиус вписанной окружности через r1 и радиус описанной окружности через r2.

Известно, что произведение радиусов равно площади треугольника, умноженной на полупериметр треугольника:

r1 * r2 = Площадь * (a + (a + 7) + (a + 14)) / 2

Так как площадь треугольника равна r1 * (a + (a + 7) + (a + 14)) / 2, то

r2 = 2 * Площадь / (a + (a + 7) + (a + 14))

Так как радиус описанной окружности равен половине периметра треугольника, то

r2 = (3a + 21) / 2

Теперь мы имеем два уравнения для r2:

r2 = 2 * Площадь / (a + (a + 7) + (a + 14)) r2 = (3a + 21) / 2

Приравнивая эти два выражения, получим:

2 * Площадь / (a + (a + 7) + (a + 14)) = (3a + 21) / 2

Раскроем скобки и упростим выражение:

2 * Площадь = (3a + 21) * (a + a + 7 + a + 14)

2 * Площадь = (3a + 21) * (3a + 21)

Раскроем скобки и упростим выражение:

2 * Площадь = 9a^2 + 63a + 63a + 441

2 * Площадь = 9a^2 + 126a + 441

Площадь = (9a^2 + 126a + 441) / 2

Так как площадь треугольника можно выразить через его стороны с помощью формулы Герона:

Площадь = sqrt(p * (p - a) * (p - (a + 7)) * (p - (a + 14)))

Где p - полупериметр треугольника.

Мы знаем, что площадь треуголь