Question

Розв'яжіть диференційне рівняння (2х+1)dy=(y-3)dx y(0)=4

Answer 1

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменными:   $\frac{dy}{y-3}= \frac{dx}{2x+1}$ - уравнение с разделёнными переменными. Проинтегрируем левую и правую части уравнения:  $\int \frac{dy}{y-3}=\int\frac{dx}{2x+1}$ получим общее решение:  $\ln|y-3|= \frac{1}{2} \ln|2x+1|+\ln C~~\Rightarrow~~y=C \sqrt{2x+1} +3$

Найдем теперь частное решение, подставляя начальное условие.
$4=C \sqrt{2\cdot 0+1}+3\\ C=1$

$\boxed{y= \sqrt{2x+1} +3}$ - ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ.

Answer 2

Для розв'язання даного диференційного рівняння, спочатку перепишемо його у вигляді, зручному для подальшої роботи:

(2x + 1) dy = (y - 3) dx.

Розділимо обидві частини рівняння на (2x + 1):

dy/dx = (y - 3) / (2x + 1).

Тепер розділимо змінні, перемістивши всі диференціалы, що містять dy, на ліву сторону, а всі диференціалы, що містять dx, на праву сторону:

dy / (y - 3) = dx / (2x + 1).

Зараз можна інтегрувати обидві частини. Проінтегруємо ліву частину:

∫(dy / (y - 3)) = ∫(dx / (2x + 1)).

Для інтегрування можна використати заміну змінних. Позначимо u = y - 3, тоді du = dy:

∫(du / u) = ∫(dx / (2x + 1)).

ln|u| = (1/2) ln|2x + 1| + C₁.

Запишемо отриманий результат зворотніми підстановками:

ln|y - 3| = (1/2) ln|2x + 1| + C₁.

Тепер можна використати вихідну умову, щоб знайти значення константи C₁. При підстановці x = 0 та y = 4 маємо:

ln|4 - 3| = (1/2) ln|2(0) + 1| + C₁,

ln(1) = 0 + C₁,

C₁ = ln(1) = 0.

Підставимо значення константи C₁ у рівняння:

ln|y - 3| = (1/2) ln|2x + 1|.

Використовуючи властивості логарифмів, можна записати:

ln|y - 3| = ln|√(2x + 1)|,

y - 3 = √(2x + 1).

Розкриваємо квадратний корінь:

y = √(2x + 1) + 3.

Отже, розв'язком заданого диференційного рівняння є функція:

y = √(2x + 1) + 3.