Question

Что такое последовательность и какие бывают

Answer 1

аиболее часто рассматривают числовые последовательности, т.е. последовательности, члены которых - числа. Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей -й член последовательности  через его номер . Например, если , то , , , .Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например: , .                 (1)Примеры числовых последовательностей - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия. Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера  (то, что  неограниченно возрастает, записывается в виде  и читается: « стремится к бесконечности»). Рассмотрим последовательность с общим членом : , , , …, , …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше , тем меньше  отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании  стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности. Другой пример:  - определяет последовательность , , , , ….Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела. Рассмотрим еще пример: . Если представить  в виде ,             (2)то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице. Дадим определение предела последовательности. Число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  можно указать такой номер , что при всех  выполняется неравенство . Если  есть предел последовательности , то пишут , или  ( - три первые буквы латинского слова limes - «предел»).Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число  в интервал  (рис. 1). Число  есть предел последовательности , если независимо от малости интервала  все члены последовательности с номерами, большими некоторого , будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала   может находиться лишь конечное число членов последовательности.Последовательность - одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу   ставится в соответствие элемент   некоторого множества. Последовательность записывается в виде  , или кратко  . Элементы   называются членами последовательности,   - первым,   - вторым,  - общим ( -м) членом последовательности.

Answer 2

Последовательность - это упорядоченный набор элементов, пронумерованных по порядку. В математике последовательность обычно представляет собой функцию, которая сопоставляет каждому натуральному числу индекс последовательности и соответствующий элемент. Обозначается последовательность с помощью фигурных скобок или угловых скобок.

Существует несколько видов последовательностей в математике, вот некоторые из них:

1. Арифметическая последовательность: Каждый следующий элемент получается прибавлением одной и той же константы (называемой разностью) к предыдущему элементу. Например, 2, 5, 8, 11, 14 является арифметической последовательностью с разностью 3.

2. Геометрическая последовательность: Каждый следующий элемент получается умножением предыдущего элемента на одну и ту же константу (называемую знаменателем). Например, 2, 6, 18, 54 является геометрической последовательностью с знаменателем 3.

3. Рекуррентная последовательность: Каждый следующий элемент вычисляется с использованием одного или нескольких предыдущих элементов согласно некоторому правилу. Например, последовательность Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) является рекуррентной, где каждый элемент равен сумме двух предыдущих элементов.

4. Списки чисел или произвольные последовательности: Это последовательности, которые не следуют строгому правилу, но просто представляют собой упорядоченный набор чисел или элементов. Например, (3, 7, 9, 2, 5) является произвольной последовательностью чисел.

В математике изучаются различные свойства последовательностей, такие как их пределы, сходимость, возрастание или убывание и т. д.