Question

Отрезок BK(K принадлежит стороне AC) разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника ABK и KBC , причем Sabk:Sbkc=1:3. Найдите углы треугольника

Answer 1

Заданное условие возможно только, если треугольник АВС прямоугольный, а отрезок ВК - это высота из вершины В на гипотенузу АС.То есть, угол В = 90°. 
Так как треугольники имеют общую высоту, то АС точкой К делится в отношении 1:3 от точки А.
Обозначим ВК = х, АК = у, КС = 3у.
Из подобия треугольников запишем пропорцию:
х/(3у) = у/х.
Отсюда х² = 3у². Извлечём корень: х = у√3.
Разделим обе части на у: х/у = √3.  х/у это тангенс угла А.
Отсюда А = arc tg√3 = 60°.
Угол С = 90-60 = 30°.

Answer 2

Чтобы найти углы треугольника ABC, нам нужно использовать информацию о том, что отрезок BK делит треугольник на два подобных треугольника ABK и KBC.

Поскольку треугольники ABK и KBC подобны, и отношение их площадей равно 1:3, можно сказать, что соответствующие стороны этих треугольников имеют отношение 1:√3 (поскольку площади треугольников пропорциональны квадратам соответствующих сторон).

Обозначим сторону AB как a, сторону BK как b и сторону KC как c.

Из соотношения сторон треугольников ABK и KBC имеем:

a/b = 1/√3 (отношение сторон ABK) c/b = √3/1 (отношение сторон KBC)

Из этих соотношений можно выразить стороны a и c через сторону b:

a = b/√3 (1) c = √3b (2)

Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

sin(A) = a/AC (3) sin(B) = c/AC (4) sin(C) = b/AC (5)

Подставим значения a и c из уравнений (1) и (2) в уравнения (3) и (4):

sin(A) = (b/√3) / AC sin(B) = (√3b) / AC

Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, имеем:

A + B + C = 180

Таким образом, мы получили систему уравнений:

sin(A) = (b/√3) / AC sin(B) = (√3b) / AC A + B + C = 180

Решение этой системы уравнений позволит найти углы треугольника ABC.