Question

Найти решение и  структуру частного решения уравнения y"+9y'=0

Answer 1

Y"=-9y' интегрируем обе части y'=-9y y=e^-9x

Answer 2

Для решения уравнения y'' + 9y' = 0, можно использовать метод вариации постоянной. Предположим, что частное решение имеет вид y = Ce^(mx), где C и m - некоторые константы, а e^(mx) - экспоненциальная функция.

Продифференцируем это предположение дважды: y' = Cm e^(mx), y'' = Cm^2 e^(mx).

Подставим эти выражения в исходное уравнение: Cm^2 e^(mx) + 9Cm e^(mx) = 0.

Факторизуем выражение, выделив общий множитель Cm e^(mx): Cm e^(mx) (m + 9) = 0.

Уравнение равно нулю, когда Cm e^(mx) = 0 или (m + 9) = 0.

Рассмотрим оба случая:

1. Cm e^(mx) = 0: Это равенство выполняется только тогда, когда C = 0, m - любое число. Таким образом, мы получаем тривиальное решение y = 0.

2. (m + 9) = 0: Это уравнение дает нам значение m = -9. Значит, частное решение имеет вид y = Ce^(-9x), где C - произвольная константа.

Структура частного решения уравнения y'' + 9y' = 0: y = C1 e^(-9x) + C2, где C1 и C2 - произвольные константы.