Question

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6,а проекция другого катета на гипотенузу 5.Найдите гипотенузу.

Answer 1

Пусть треуг. АВС
угол А=90, т.е треугольник прямоугольный.
проведем перепендикуляр АМ, тогда
МС-проекция, а АС=5
Следствие из теоремы Пифагора гласит: квдрат катета равен проекции этого катета на гипотенузу, умноженному на гипотенузу. Следовательно
пусть ВМ-х, тогда
АВ^2=х(х+5)
36=x^2+5x
x₁=2
x₂=-7 не удовлетворяет условию задачи
ВМ=2
ВС=7

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, где $a = 6$ и проекцию катета $b$ на гипотенузу как $c'$, где $c' = 5$. Мы хотим найти гипотенузу $c$.

Используя теорему Пифагора, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Мы знаем, что $a = 6$ и $c' = 5$. Теперь мы можем найти катет $b$:

$6^2 + b^2 = c^2$ $36 + b^2 = c^2$

Мы также знаем, что проекция катета $b$ на гипотенузу равна $\frac{b}{c} = c'$. Мы можем выразить $b$ через $c$:

$\frac{b}{c} = \frac{5}{c}$ $b = \frac{5}{c}$

Теперь мы можем заменить $b$ в уравнении:

$36 + \left(\frac{5}{c}\right)^2 = c^2$

Раскроем скобки:

$36 + \frac{25}{c^2} = c^2$

Умножим все члены уравнения на $c^2$:

$36c^2 + 25 = c^4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$c^4 - 36c^2 - 25 = 0$

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно $c^2$. Решим его:

$c^2 = \frac{36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1}$

$c^2 = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 100}}{2}$

$c^2 = \frac{36 \pm \sqrt{1396}}{2}$

$c^2 = \frac{36 \pm 37.37}{2}$

Поскольку гипотенуза не может быть отрицательной, мы выбираем только положительное значение:

$c^2 = \frac{36 + 37.37}{2}$

$c^2 = \frac{73.37}{2}$

$c^2 \approx 36.685$

Возьмем квадратный корень:

$c \approx \sqrt{36.685}$

$c \approx 6.05$

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна примерно 6.05.