Question

29. В прямоугольном треугольнике один катет равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

Answer 1

Треугольник АВС; угол А - прямой;
катет АС=15 см;
из вершины прямого угла А проведём высоту АК на гипотенузу ВС;
ВК=16 см, это и есть проекция катета АВ на гипотенузу ВС;
пусть проекция катета АС на гипотенузу ВС равна х (КС=х см);
гипотенуза ВС равна ВС=ВК+КС=16+х см;
Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу;
АС^2=ВС*КС;
15^2=(х+16)*х;
x^2+16x-225=0
D=16^2-4*(-225)=256+900=1156=34^2;
х=(-16+34)/2=9
второй корень отрицательный; не подходит.
значит, гипотенуза равна 16+9=25 см;
радиус, описанной около прямоугольного треугольника окружности, равен половине гипотенузы;
R=ВС:2;
R=25:2=12,5 см;
Ответ: 12,5

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и формулу для радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Таким образом, мы можем записать:

15^2 + (проекция катета)^2 = гипотенуза^2

15^2 + 16^2 = гипотенуза^2

225 + 256 = гипотенуза^2

481 = гипотенуза^2

Теперь найдем длину гипотенузы, возведя полученную сумму в квадрат:

гипотенуза = √481 ≈ 21.93

Зная длину гипотенузы, мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника:

Радиус описанной окружности = гипотенуза / 2

Радиус описанной окружности ≈ 21.93 / 2 ≈ 10.97

Таким образом, радиус описанной около треугольника окружности составляет примерно 10.97.