Question

На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Разрешается выбрать любые два числа x и y, стереть их, и записать вместо них на доску числа x-1 и y+3. Через 168 таких операций на доске оказались числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, N (записанные в некотором порядке). Найдите наибольшее число N, для которого такое могло получиться.

Answer 1

168*2=336
1+336=337
Ответ: 337

Answer 2

Давайте рассмотрим последовательность операций и их влияние на числа на доске:

1. После первой операции числа на доске станут: 1, 5, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. После второй операции числа на доске станут: 0, 8, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3. После третьей операции числа на доске станут: -1, 11, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
4. После четвертой операции числа на доске станут: -2, 14, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Обратите внимание, что при каждой операции сумма всех чисел на доске увеличивается на 2. Таким образом, после 168 операций сумма всех чисел на доске увеличивается на 168 * 2 = 336.

Исходная сумма чисел на доске равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Поэтому, после 168 операций сумма всех чисел на доске будет равна 45 + 336 = 381.

Теперь мы знаем, что сумма всех чисел на доске после 168 операций равна 381. Чтобы найти наибольшее возможное число N, мы должны минимизировать сумму оставшихся чисел.

Поскольку сумма всех чисел от 2 до 9 равна 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44, оставшееся число N должно быть равно 381 - 44 = 337.

Таким образом, наибольшее число N, для которого такая последовательность операций могла привести к данной конфигурации на доске, равно 337.