Question

За круглым столом сидят гномы. Гномы по кругу передают горшок с золотыми монетами. Первый гном взял из горшка 1 монету, второй – 2, третий – 3 и так далее. Каждый следующий брал ровно на одну монету больше. Оказалось, что на третьем круге гномы суммарно взяли на 648 монет больше, чем на первом. Какое наибольшее количество гномов могло сидеть за столом?

Answer 1

берут по кругу  ------по 1 м
разница третьего кр. с первым  ---648 м
всего гномов -----?
Решение.
Х г ----- число гномов
(1 * Х) = Х (м)------ на столько монет каждому гному придется брать больше по сравнению с предыдущим кругом, т.к. каждый берет по одной монете.
(2 * Х) = 2Х (м) ---- на столько больше придется брать каждому на третьем по с сравнению с первым, т.к. пройдет ДВА круга.
2Х * Х = 2Х² ------ разница в числе монет, взятых ВСЕМИ Х гномами за два круга. 
2Х² = 648 м ------ по условию;
Х² = 648 : 2 = 324 (м)
Х = √324 = 18 (г)
Ответ : 18 гномов сидело за столом.
Примечание.
1.   Если задача для начальной школы, то избегаем записи и вычисления квадратного корня. Делаем так:записывваем 
2Х * Х = 648 м; Х * Х = 324 и проводим  подбор: а) 324 < 20*20, значит, число десятков 1; б) последняя цифра 4 бывает при умножении 2*2=4 или 8*8=64;
в) 12 *12 = 144 ---- не подходит, 18*18=324  --- подходит.
2. Формула Х = √(а/б), где а - разница в монетах, б - число кругов разницы подойдет и для решения подобных задач.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

Пусть количество гномов за столом равно N.

На первом круге сумма монет, взятых всеми гномами, равна 1 + 2 + 3 + ... + N. На третьем круге сумма монет, взятых всеми гномами, равна (1 + 2 + 3 + ... + N) + 648.

Мы знаем, что на третьем круге гномы взяли на 648 монет больше, чем на первом круге. То есть:

(1 + 2 + 3 + ... + N) + 648 = (1 + 2 + 3 + ... + N) + 648.

Это означает, что (1 + 2 + 3 + ... + N) + 648 = (1 + 2 + 3 + ... + N) + 648.

Получается, что выражения на обеих сторонах равны, и добавление 648 не влияет на сумму.

Таким образом, независимо от значения N, количество гномов, сидящих за столом, остается неизменным. Не существует наибольшего или наименьшего значения для количества гномов.