Question

Найдите все целые k,n и простые p, для которых p^k+16=n²

Answer 1

Ответ:

$p=3,\; k=2, \; n=5$

Пошаговое объяснение:

Перенесём 16 в правую часть уравнения. Получим $p^{k}=(n-4)(n+4)$; Делителями числа $p^{k}$ являются числа $p^{i}, \; i=0,\;1,\;...\;k$, так как p - простое число;

Пусть тогда $n-4=p^{\alpha },\; n+4=p^{\beta}$;

Заметим, что $(n+4)-(n-4)=8=p^{\alpha}(p^{\beta - \alpha} -1)$; Из равенства следует, что p нечетно. Тогда $p^{\alpha}=1 \Leftrightarrow \alpha = 0$; Отсюда $p^{\beta} = 9 \Rightarrow p=3,\; \beta =2$; Поскольку $k=\alpha +\beta$, то k=2; p=3; n=5

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение p^k + 16 = n² подробнее.

Обратите внимание, что правая часть уравнения, n², всегда является квадратом целого числа. В то же время, левая часть, p^k + 16, может быть квадратом только в следующих случаях:

1. Если p = 2 и k = 4m (где m - произвольное целое число). В этом случае, p^k = 2^(4m) = 2^(2m)² = (2^m)². Тогда p^k + 16 = (2^m)² + 16 = (2^m)² + 4² = (2^m + 4)², где n = 2^m + 4. Заметим, что 2^m + 4 является целым числом и квадратом.

2. Если p = 3 и k = 2. В этом случае, p^k = 3^2 = 9, и p^k + 16 = 9 + 16 = 25 = 5². Таким образом, n = 5.

3. Если p = 5 и k = 0. В этом случае, p^k = 5^0 = 1, и p^k + 16 = 1 + 16 = 17. 17 не является квадратом целого числа, поэтому этот случай не подходит.

Таким образом, единственные целые значения k и n, а также простое число p, которые удовлетворяют уравнению p^k + 16 = n², это:

• k = 4m, n = 2^m + 4, и p = 2 (где m - произвольное целое число).
• k = 2, n = 5, и p = 3.

Это все решения этого уравнения.