Question

Доказать что 5n^2 + 2*3^n-3 кратно 8

Answer 1

 n=1 получаем верное равенство $5+6-3=8 Пусть утверждение верно при n=k,докажем, что оно останется верным при n=k+1. 5*([tex]5(k+1)^{2} +2* 3^{k+1} -3=5 k^{2} +5+2* 3^{k} *3=5 k^{2} +5+6*3 ^{k}$

Answer 2

Чтобы доказать, что выражение $5n^2 + 2 \cdot 3^n - 3$ кратно 8, нужно показать, что оно делится на 8 без остатка для любого целого значения $n$.

Для начала, рассмотрим выражение $5n^2$. Мы знаем, что квадрат любого целого числа $n$ может быть записан в одном из двух видов: $4k$ или $4k + 1$, где $k$ - целое число. Таким образом, $n^2$ можно представить в виде $4k$ или $4k + 1$.

Теперь рассмотрим выражение $2 \cdot 3^n$. Заметим, что для любого целого числа $n$, $3^n$ всегда будет иметь остаток 1 при делении на 8. Это можно показать, рассмотрев возможные значения $n$:

Для $n = 0$: $3^0 = 1$ (делится на 8 без остатка). Для $n = 1$: $3^1 = 3$ (остаток 3 при делении на 8). Для $n = 2$: $3^2 = 9$ (остаток 1 при делении на 8). Для $n = 3$: $3^3 = 27$ (остаток 3 при делении на 8). И так далее.

Таким образом, для любого целого числа $n$, $3^n$ имеет остаток 1 при делении на 8.

Теперь объединим эти результаты. Выражение $5n^2 + 2 \cdot 3^n - 3$ можно записать как:

$5n^2 + 2 \cdot 3^n - 3 = 4k + 2 \cdot 1 - 3 = 4k - 1$.

Мы видим, что остаток этого выражения при делении на 8 равен -1, что не является кратным 8. Таким образом, данное выражение не является кратным 8 для любого целого значения $n$.

Таким образом, мы не можем доказать, что выражение $5n^2 + 2 \cdot 3^n - 3$ кратно 8.