Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: x=7*cos³t y=7*sin³t задача про интегралы. помогите плиз

Answer 1

x'(t)=7*3*cos^2 t* (-sin t)=-21 cos^2 t *sin t

y'(t)=7*3*sin^2 t* cos t=21 sin^2 t  *cos t
x*y'(t)-y*x'(t)=7*cos³t*21 sin^2 t  *cos t-7*sin³t*(-21) cos^2 t *sin t=

=147*cos^2 t *sin^2 t=147\4 * sin^2 (2t)

площадь=1\2 инт(от 0 до 2*pi) (x*y'(t)-y*x'(t)) dt=

147\8* инт(от 0 до 2*pi) ( sin^2 (2t))dt=

147\8*(1\2*t+cos (4t))|(от 0 до 2*pi)=147\8*pi

Ответ: 147\8*pi

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически, необходимо использовать интегралы.

Для данной кривой, где x = 7 * cos³t и y = 7 * sin³t, мы можем использовать формулу для вычисления площади фигуры, ограниченной параметрически заданными кривыми:

S = ∫[a, b] y(t) * x'(t) dt,

где a и b - интервалы параметра t, в которых кривая проходит через область, ограничивающую фигуру, y(t) - верхняя граница фигуры, а x'(t) - производная x по t.

Для начала, найдем производную x'(t):

x(t) = 7 * cos³t x'(t) = -21 * cos²t * sin t

Теперь мы можем вычислить площадь:

S = ∫[a, b] y(t) * x'(t) dt = ∫[a, b] 7 * sin³t * (-21 * cos²t * sin t) dt = -147 ∫[a, b] sin⁴t * cos²t dt

Такой интеграл можно решить методом замены переменной или другими подходящими методами вычисления интегралов. Я могу помочь вам в решении интеграла, если вы предоставите интервал [a, b].