Question

Помогите найти интеграл. dx/3x^2-25

Answer 1

$\int \frac{dx}{3x^2-25}=\int \frac{dx}{(\sqrt3x)^2-5^2}=\frac{1}{\sqrt3} \cdot \frac{1}{2\cdot 5}\cdot ln\Big |\frac{\sqrt3x-5}{\sqrt3x+5}\Big |+C=\\\\=\frac{1}{10\sqrt3}\cdot ln\Big |\frac{\sqrt3x-5}{\sqrt3x+5}\Big |+C$

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫ dx / (3x^2 - 25) сначала выполним разложение на простые дроби.

У нас имеется квадратный трёхчлен в знаменателе, поэтому разложение будет выглядеть следующим образом:

1/(3x^2 - 25) = A/(x - 5) + B/(x + 5),

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.

Чтобы найти эти коэффициенты, выполним приведение к общему знаменателю справа:

1/(3x^2 - 25) = (A(x + 5) + B(x - 5)) / ((x - 5)(x + 5)).

Теперь сравним числители:

1 = A(x + 5) + B(x - 5).

Раскроем скобки:

1 = Ax + 5A + Bx - 5B.

Группируем подобные слагаемые:

(А + В)х + (5A - 5B) = 1.

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

А + В = 0, 5A - 5B = 1.

Решая эти уравнения, найдём значения А и В:

А = 1/10, В = -1/10.

Теперь мы можем переписать интеграл в виде:

∫ dx / (3x^2 - 25) = ∫ (1/10) * dx / (x - 5) - (1/10) * dx / (x + 5).

Применяем свойство линейности интеграла:

∫ (1/10) * dx / (x - 5) - (1/10) * dx / (x + 5) = (1/10) * ∫ dx / (x - 5) - (1/10) * ∫ dx / (x + 5).

Теперь, используем свойство логарифма при интегрировании:

(1/10) * ∫ dx / (x - 5) - (1/10) * ∫ dx / (x + 5) = (1/10) * ln|x - 5| - (1/10) * ln|x + 5| + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл ∫ dx / (3x^2 - 25) равен:

(1/10) * ln|x - 5| - (1/10) * ln|x + 5| + C.