Question

Знайти значення похідної у даній точціf(x) = sin^3 2x; x0 = pi/12​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$f(x)=sin^32x\\f'(x)=3sin^22x*cos2x*2=6sin^22x*cos2x\\f'(\frac{\pi }{12})=6*sin^2(\frac{\pi }{6})*cos(\frac{\pi}{6})=6*\frac{1}{4}*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Answer 2

Щоб знайти значення похідної функції f(x) = sin^3(2x) в точці x₀ = π/12, скористаємося правилом ланцюжка для похідних.

Спочатку обчислимо похідну sin^3(2x) за допомогою ланцюжка. Позначимо g(x) = sin(x) і h(x) = x^3. Тоді f(x) = h(g(2x)).

Для функції g(x) = sin(x) похідна дорівнює g'(x) = cos(x).

Для функції h(x) = x^3 похідна дорівнює h'(x) = 3x^2.

Тепер застосуємо правило ланцюжка:

f'(x) = h'(g(2x)) * g'(2x) * 2.

Підставимо g'(x) і h'(x):

f'(x) = 3(g(2x))^2 * cos(2x) * 2.

Тепер підставимо значення x₀ = π/12:

x₀ = π/12.

f'(x₀) = 3(g(2 * (π/12)))^2 * cos(2 * (π/12)) * 2.

Обчислимо:

x₀ = π/12.

f'(x₀) = 3(g(π/6))^2 * cos(π/6) * 2.

Значення sin(π/6) = 1/2 і cos(π/6) = √3/2.

Підставимо їх:

f'(x₀) = 3((1/2)^2) * (√3/2) * 2.

f'(x₀) = 3(1/4) * (√3/2) * 2.

f'(x₀) = (3/4) * (√3/2) * 2.

f'(x₀) = 3√3/4.

Таким чином, значення похідної функції f(x) = sin^3(2x) в точці x₀ = π/12 дорівнює 3√3/4.