Question

Производную функции F (x)=cos^7x^5

Answer 1

$f(x)=cos^7x^5\\\\f'(x)=7cos^6(x^5)*(cos(x^5))'=7cos^6(x^5)*(-sin(x^5))*(x^5)'=\\\\=-7cos^6(x^5)sin(x^5)*5x^4=\boxed{-35x^4cos^6(x^5)sin(x^5)}$

Answer 2

Для вычисления производной функции F(x) = cos^7(x^5) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (chain rule).

Пусть u = x^5, а v = cos(u). Затем применим chain rule для производной функции F(x) = v^7:

dF/dx = dv/dx * d(v^7)/dv

Первым шагом вычислим производную dv/dx. Так как v = cos(u), то dv/dx = -sin(u) * du/dx:

du/dx = 5x^4 (производная x^5 по x) sin(u) = sin(x^5) (подстановка значения u) dv/dx = -sin(x^5) * 5x^4

Теперь вычислим производную d(v^7)/dv. Заметим, что v^7 = (cos(u))^7, а (cos(u))^7 можно представить в виде cos^7(x^5):

d(v^7)/dv = 7v^6

Итак, получаем:

dF/dx = dv/dx * d(v^7)/dv = (-sin(x^5) * 5x^4) * 7(cos(x^5))^6

Таким образом, производная функции F(x) = cos^7(x^5) равна:

dF/dx = -35x^4 * sin(x^5) * (cos(x^5))^6