Question

Помогите! решить интеграл подведением под знак дифференцирования dx/(x^2-4x-45)

Answer 1

$\int \frac{dx}{x^2-4x-45}=\int \frac{dx}{(x-2)^2-49}=\int \frac{d(x-2)}{(x-2)^2-49}=[\, \int \frac{dt}{t^2-49}\, ]=\\\\=\frac{1}{2\cdot 7}\cdot ln\Big |\frac{x-2-7}{x-2+7}\Big |+C=\frac{1}{14}\cdot ln\Big |\frac{x-9}{x+5}\Big |+C$

Answer 2

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться методом частичных дробей. Вот как это делается:

1. Найдем корни знаменателя: x^2 - 4x - 45 = 0. Факторизуем это уравнение: (x - 9)(x + 5) = 0. Корни: x = 9 и x = -5.

2. Теперь мы можем разложить исходное выражение на простые дроби: 1/(x^2 - 4x - 45) = A/(x - 9) + B/(x + 5).

3. Найдем значения коэффициентов A и B, скомпоновав правую часть уравнения: 1 = A(x + 5) + B(x - 9). Подставим x = 9: 1 = A(9 + 5) + B(9 - 9) = 14A. Таким образом, A = 1/14. Подставим x = -5: 1 = A(-5 + 5) + B(-5 - 9) = -14B. Таким образом, B = -1/14.

4. Теперь можем переписать исходный интеграл: ∫(dx/(x^2 - 4x - 45)) = ∫(1/14(x - 9) - 1/14(x + 5)) dx.

5. Интегрируем каждое слагаемое отдельно: ∫(1/14(x - 9)) dx = (1/14)∫(x - 9) dx = (1/14)(x^2/2 - 9x) + C1, ∫(-1/14(x + 5)) dx = (-1/14)∫(x + 5) dx = (-1/14)(x^2/2 + 5x) + C2,

   где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

6. Итак, окончательное решение интеграла: ∫(dx/(x^2 - 4x - 45)) = (1/14)(x^2/2 - 9x) - (1/14)(x^2/2 + 5x) + C, где C = C1 - C2 - произвольная постоянная интегрирования.

Это и есть решение данного интеграла с использованием метода частичных дробей.