Question

Докажите, что число 7^10 - 7^9 + 7^8 делится на 43

Answer 1

${7}^{10} - {7}^{9} + {7}^{8} = {7}^{8} ( {7}^{2} - {7}^{1} + 1) = \\ = {7}^{8} (49 - 7 + 1) = {7}^{8} \times 43$
Полученное выражение делится на 43, значит и исходное выражение делится на 43, ч. т. д.

Answer 2

Чтобы доказать, что число $7^{10} - 7^9 + 7^8$ делится на 43, мы можем воспользоваться свойствами модульной арифметики.

Для начала, заметим, что $43$ является простым числом и не делится на $7$. Это означает, что мы можем применить малую теорему Ферма.

Малая теорема Ферма утверждает, что если $p$ - простое число и $a$ не делится на $p$, тогда $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$.

В нашем случае, мы можем применить малую теорему Ферма с $p = 43$ и $a = 7$:

$7^{42} \equiv 1 \mod 43$.

Теперь, давайте рассмотрим выражение $7^{10} - 7^9 + 7^8$. Мы можем вынести общий множитель $7^8$ из каждого слагаемого:

$7^{10} - 7^9 + 7^8 = 7^8(7^2 - 7 + 1)$.

Заметим, что $7^2 - 7 + 1 = 49 - 7 + 1 = 43$.

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

$7^{10} - 7^9 + 7^8 = 7^8(7^2 - 7 + 1) = 7^8 \cdot 43$.

Мы видим, что $7^{10} - 7^9 + 7^8$ представимо в виде произведения числа $7^8$ и числа $43$, поэтому оно делится на $43$.

Таким образом, мы доказали, что число $7^{10} - 7^9 + 7^8$ делится на $43$.