Question

25 БАЛЛОВ На клетках главной диагонали шашечной доски 1010 расставлены 10 фишек. За один ход можно взять любые две фишки и передвинуть каждую из них на соседнее по горизонтали или вертикали свободное поле. Можно ли через несколько ходов переставить все фишки в левый столбец?

Answer 1

Будем считать, что доска состоит из черных и белых клеток, расположенных как на шахматной доске (две клетки одного цвета не имеют общей стороны). Тогда все 10 фишек стоят на клетках одного цвета (будем считать, что это черный цвет). В левом столбце 5 клеток черного цвета и 5 клеток белого цвета. Если мы в течение хода передвинем две фишки, стоявшие на белых клетках, они обе окажутся на черных клетках, то есть, число черных клеток увеличется на 2. Аналогично, если мы передвинем две фишки, стоявшие на черных клетках, они обе окажутся на белых клетках, то есть, число белых клеток уменьшится на два. Если же мы передвигаем фишки, стоявшие на клетках разного цвета, то они вновь окажутся на клетках разного цвета, то есть, число фишек, стоящих на клетках черного цвета не изменилось. Таким образом, число фишек, стоявших на клетках черного цвета при любых действиях останется четным и оно не может стать равным 5. Значит, переместить все фишки в левый столбец невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

Answer 2

Да, можно переставить все фишки в левый столбец.

Общее количество фишек на доске составляет 10, а количество фишек в левом столбце в начале равно 1 (по условию, на главной диагонали). Наша цель состоит в том, чтобы перенести оставшиеся 9 фишек в левый столбец.

Мы можем представить фишки как вершины графа, где каждое поле на доске представляет собой вершину, а переход между полями - это ребро. Если две фишки расположены рядом друг с другом (вертикально или горизонтально), они связаны ребром.

Каждый ход перемещает две фишки, и так как в доске всего 10 фишек, нам потребуется 5 ходов, чтобы переместить все фишки из диагонали в левый столбец.

Каждый ход мы можем выбрать две соседние фишки (вершины), переместить их на соседнее поле (перейти по ребру) и таким образом уменьшить количество ребер между фишками и левым столбцом на 1. После 5 таких ходов у нас не останется ни одного ребра, и все фишки будут находиться в левом столбце.

Таким образом, мы можем переставить все фишки в левый столбец через 5 ходов.