Question

доказать, что бесконечная десятичной дробь 0,1234567891011..., где после запятой выписаны подряд все натуральные числа, является непериодической дробью

Answer 1

Переодическая дробь-дробь,в которой после комы повторяются числа в определённом порятке.А в даной записи они идут подряд.Пример периодической дроби-3,123412341234=3,(1234)

Answer 2

Для доказательства, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011... является непериодической, мы можем воспользоваться методом от противного.

Предположим, что данная десятичная дробь является периодической. Это значит, что существует цикл повторяющихся цифр, который будет продолжаться бесконечно.

Пусть n - длина периода. Заметим, что в этой десятичной дроби присутствуют числа от 1 до 9, которые составляют одну или две цифры. Также присутствуют числа, состоящие из трех цифр и более (10, 11, 12, и так далее).

Рассмотрим число 10^n, которое является n-значным числом. Если мы возьмем эту степень 10 и увеличим ее на 1, то получим число 10^n + 1. Очевидно, что это число будет больше, чем n-значное число 10^n.

Таким образом, в десятичной дроби 0,1234567891011... будут присутствовать числа, состоящие из трех цифр и более, которые больше, чем любое n-значное число. То есть, ни одно n-значное число не может повторяться в дробной части.

Следовательно, мы приходим к противоречию: невозможно найти циклический период в десятичной дроби 0,1234567891011..., так как она содержит числа, которые не могут повторяться в ней.

Таким образом, десятичная дробь 0,1234567891011... является непериодической.