Question

Найти асимптоты и экстремумы y=x/x-1

Answer 1

ДАНО
Y = x/(x-1)
РЕШЕНИЕ
1. асимптоты - значения функции при бесконечности - предел функции.
$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-1} = 1$
Наклонная асимптота - Y= 1/
2. Экстремумы  -  в корнях первой производной.
$Y'= \frac{1}{x-1}- \frac{x}{(x-1)^2}$
Корней нет - нет экстремумов.
3. График функции  -  в приложении.

Answer 2

Для определения асимптот и экстремумов функции y = x / (x - 1), мы должны проанализировать ее свойства и производные.

1. Асимптоты: a) Горизонтальная асимптота: Для этого мы проверим поведение функции в бесконечности (x -> ±∞). Рассмотрим предел функции, когда x стремится к бесконечности:

   lim(x->∞) x / (x - 1) = 1.

   Это означает, что функция имеет горизонтальную асимптоту y = 1 при x -> ∞.

   b) Вертикальная асимптота: Вертикальные асимптоты возникают там, где знаменатель обращается в ноль. Решим уравнение x - 1 = 0, чтобы найти возможные вертикальные асимптоты:

   x - 1 = 0 x = 1.

   Это означает, что функция имеет вертикальную асимптоту x = 1.

2. Экстремумы: Для определения экстремумов найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю:

   y = x / (x - 1) y' = (x - 1 - x) / (x - 1)^2 = -1 / (x - 1)^2.

   Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

   -1 / (x - 1)^2 = 0 x - 1 = 0 x = 1.

   При x = 1 производная равна нулю, что указывает на наличие экстремума. Однако, при подстановке x = 1 в исходную функцию, мы получаем 0/0, что является неопределенным значением. Это означает, что функция y = x / (x - 1) не имеет экстремумов.

Итак, у функции y = x / (x - 1) есть горизонтальная асимптота y = 1, вертикальная асимптота x = 1, но нет экстремумов.