Question

Докажите, что если сумма цифр делится на 27, то и число делится на 27

Answer 1

Ну ты попробуй разделить получиться 1

Answer 2

Предположим, что дано некоторое число, сумма цифр которого делится на 27, но само число не делится на 27. Пусть это число обозначается как N.

Тогда мы можем записать число N в следующем виде: N = a_k * 10^k + a_{k-1} * 10^{k-1} + ... + a_1 * 10^1 + a_0 * 10^0,

где a_i - это цифры числа N, k - наибольшая степень числа 10, меньшая или равная k.

Сумма цифр числа N записывается как: S = a_k + a_{k-1} + ... + a_1 + a_0.

Мы предположили, что S делится на 27, поэтому S = 27m, где m - целое число.

Теперь давайте рассмотрим разность между числом N и его суммой цифр S: N - S = (a_k * 10^k + a_{k-1} * 10^{k-1} + ... + a_1 * 10^1 + a_0 * 10^0) - (a_k + a_{k-1} + ... + a_1 + a_0).

Мы можем переписать это выражение следующим образом: N - S = a_k * (10^k - 1) + a_{k-1} * (10^{k-1} - 1) + ... + a_1 * (10^1 - 1) + a_0 * (10^0 - 1).

Заметим, что каждое слагаемое в скобках (10^i - 1) является кратным 9, так как оно представляет собой разность между числом, состоящим из i девяток, и числом 1. То есть (10^i - 1) = 9k_i, где k_i - целое число.

Теперь мы можем записать разность N - S следующим образом: N - S = 9k_k * a_k + 9k_{k-1} * a_{k-1} + ... + 9k_1 * a_1 + 9k_0 * a_0.

Заметим, что каждое слагаемое в этой сумме является кратным 9. Таким образом, N - S также является кратным 9.

Но мы знаем, что N - S = N - 27m = 9(какое-то целое число). Из этого следует, что N - 27m также является кратным 9.

Теперь мы можем записать N в виде: N = 27m + (N - 27m) = 27m + 9(какое-то целое число).

Мы видим, что N является суммой двух чисел: 27m, которое