Question

Докажите что средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию площади которых относятся как 1:3

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где AB - основание, а CD - средняя линия. Пусть точка M - середина стороны AB. Также, пусть точка E - точка пересечения CD и AM.

Чтобы доказать, что треугольник ABC делится на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1:3, мы должны показать, что площадь треугольника ADE составляет третью часть площади треугольника ABC, а площадь трапеции BCED составляет две трети площади треугольника ABC.

Для начала, давайте рассмотрим площадь треугольника ADE. Мы знаем, что AM - средняя линия треугольника ABC, поэтому M является серединой AB. Следовательно, AM равно BM. Поскольку AM равно BM, то треугольник AME является равнобедренным, и ME параллельно BC.

Теперь рассмотрим площадь треугольника ABC. Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Высота треугольника ABC - это отрезок CD, а основание - это отрезок AB.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна (1/2) * AB * CD.

Теперь давайте рассмотрим площадь треугольника ADE. Мы знаем, что треугольники AME и ABC подобны, так как у них две пары равных углов (угол AME равен углу ABC, так как AM параллельно BC, а угол AEM равен углу ACB, так как AE - это средняя линия треугольника ABC). Поэтому соотношение длин сторон в этих треугольниках равно соотношению их площадей.

Так как AM делит сторону AB пополам, то соотношение сторон AM и BM равно 1:1. Таким образом, площадь треугольника ADE составляет (1/2) * AM * ME.

Мы знаем, что ME параллельно BC и делит его пополам. Поэтому соотношение сторон ME и BC также равно 1:1. Следовательно, площадь треугольника ADE составляет (1/2) * AM * (1/2) * BC.

Поскольку AM равно BM и ME