Question

Случайным образом выбираются три различные вершины одиннадцатиугольной призмы. Какова вероятность того, что плоскость, проходящая через эти три вершины, содержит какие-либо точки строго внутри призмы? Ответ округлите до сотых

Answer 1

Решим задачу в общем случае. Обозначим число сторон в основании призмы за n. Тогда призма имеет n граней и 2n вершин.
Вероятность рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Найдем общее число исходов: выбрать 3 вершины из 2n имеющихся можно $C_{2n}^3$ способами.
Найдем число благоприятных исходов как разность общего числа исходов и числа неблагоприятных исходов. Общее число исходов известно, теперь находим число неблагоприятных исходов.
Если все выбранные вершины лежат на боковой грани или на основании, то образовавшееся сечение не будет содержать точек строго внутри призмы. Число способов выбрать три вершины боковой грани равно $n\cdot C_4^3=4n$, так как призма имеет n боковых граней, и в каждой грани расположено 4 вершины. Число способов выбрать три вершины основания равно $2\cdot C_n^3$, так как призма имеет всего два основания и в каждом из этих оснований расположено n вершин.
Получаем общее число неблагоприятных исходов: $4n+2C_n^3$. Тогда число благоприятных исходов равно $C_{2n}^3-(4n+2C_n^3)$.
Находим искомую вероятность:
$P(A)= \dfrac{C_{2n}^3-(4n+2C_n^3)}{C_{2n}^3} =1- \dfrac{4n+2C_n^3}{C_{2n}^3}$
Для одиннадцатиугольной призмы, то есть для n=11, получаем:
$P(A)= 1- \dfrac{4\cdot11+2C_{11}^3}{C_{22}^3} =1- \dfrac{44+2\cdot \frac{11\cdot10\cdot9}{1\cdot2\cdot3} }{ \frac{22\cdot21\cdot20}{1\cdot2\cdot3} } = 1- \dfrac{44+11\cdot10\cdot3 }{11\cdot7\cdot20 } = \\\ =1- \dfrac{44+330 }{1540} =1- \dfrac{374}{1540} =\dfrac{1166}{1540}=\dfrac{53}{70} \approx0.76$
Ответ: 0.76

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что плоскость, проходящая через три случайно выбранные вершины одиннадцатиугольной призмы, содержит точки строго внутри призмы, нам нужно определить, сколько таких комбинаций вершин удовлетворяют этому условию.

Однако, для более простого решения можно рассмотреть обратное условие: сколько комбинаций вершин не содержат точек внутри призмы, и затем вычесть это значение из общего количества возможных комбинаций.

Общее количество возможных комбинаций из трех различных вершин можно рассчитать по формуле сочетаний C(n, k), где n - общее количество вершин, а k - количество выбранных вершин.

В нашем случае n = 11 (общее количество вершин) и k = 3 (количество выбранных вершин):

C(11, 3) = 11! / (3! * (11-3)!) = 11! / (3! * 8!) = 165.

Теперь рассмотрим комбинации вершин, которые не содержат точек внутри призмы. Чтобы это произошло, плоскость должна проходить через одну из сторон призмы. У одиннадцатиугольной призмы есть 11 сторон.

Таким образом, количество комбинаций вершин, которые не содержат точек внутри призмы, равно 11.

Теперь мы можем найти вероятность путем деления количества комбинаций вершин, которые содержат точки внутри призмы (154), на общее количество комбинаций (165):

Вероятность = 154 / 165 ≈ 0.933 (округлено до сотых).

Таким образом, вероятность того, что плоскость, проходящая через три случайно выбранные вершины одиннадцатиугольной призмы, содержит точки строго внутри призмы, составляет приблизительно 0.93.