Question

На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно, причем так, что B1C1⊥AC, A1C1⊥AB, B1A1⊥BC. Найдите A1B/A1C.

Answer 1

Тогда углы A1B1C1=AC1B1=BA1C1=90-60=30 , значит треугольник A1B1C1 равносторонний , так как углы равны по 180-(90+30)=60 гр , треугольники AC1B1, CA1B1, BA1C1 равны по трём углам и стороне, откуда C1B=A1C=AB1 , BA1=B1C=AC1 , значит BA1/A1C=BA1/BC1=sin60/sin30=sqrt(3).

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами равностороннего треугольника.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, каждый его угол равен 60 градусов. Мы можем использовать эту информацию для определения дополнительных углов в треугольнике.

Рассмотрим треугольник A₁B₁C₁. Так как B₁C₁ ⊥ AC и угол ACB равен 60 градусов, то угол A₁C₁B₁ также равен 60 градусов. Аналогично, углы A₁B₁C₁ и B₁A₁C₁ также равны 60 градусов.

Теперь мы можем рассмотреть треугольники A₁BC и A₁CB₁, чтобы выразить отношение A₁B/A₁C.

В треугольнике A₁BC у нас есть два равных угла: угол A₁BC и угол A₁CB (каждый из них равен 60 градусов). Поскольку треугольник равнобедренный, то отношение длин сторон A₁B и A₁C равно отношению ближайших к этим сторонам боковых сторон. Таким образом, мы можем записать:

A₁B / A₁C = BC / AC.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, BC равно AC. Таким образом, мы получаем:

A₁B / A₁C = BC / AC = 1.

Итак, отношение A₁B к A₁C равно 1.