Question

Указать промежуток, содержащий корень уравнения X^4-256 _______ = 14x+24 16-x^2

Answer 1

Найдем ОДЗ. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, значит:
                               $16-x^2\ne 0\Rightarrow\,\,\, x^2\ne16\Rightarrow\,\,\, x\ne \pm4$
Представим левую часть уравнения в виде:
       $\displaystyle \frac{x^4-256}{16-x^2}=- \frac{(x^2-16)(x^2+16)}{x^2-16} =-(x^2+16)$
Получим уравнение следующего вида:
               $-(x^2+16)=14x+24\\ x^2+14x+40=0$
Согласно теореме Виета:  $x_1=-10;\,\,\,\,\, x_2=-4$
Второй корень не является решение заданного уравнения, так как знаменатель дроби обращается в 0.

Ответ -10 ∈ (-11;-9).

Answer 2

$\frac{x^4-256}{16-x^2} =14x+24$
ОДЗ:
$16-x^2 \neq 0$
$x^2 \neq 16$
$x \neq б4$
$\frac{(x^2-16)(x^2+16)}{16-x^2} =14x+24$
$-\frac{(x^2-16)(x^2+16)}{x^2-16} =14x+24$
$-x^2-16=14x+24$
$-x^2-16-14x-24=0$
$x^2+14x+40=0$
$D = 196-160=6^2$
$x_{1}= \frac{-14-6}{2} =-10$
$x_{2}= \frac{-14+6}{2} =-4$ - не уд. ОДЗ
ответ: x∈(-11;-9)

Answer 3

Для указания промежутка, содержащего корень уравнения, мы должны найти корни уравнения и определить, где функция меняет знак.

Перепишем уравнение в стандартной форме: X^4 - 256 = (14X + 24)(16 - X^2)

Заметим, что уравнение может быть разложено как разность квадратов: (X^2 - 16)(X^2 + 16) = (14X + 24)(16 - X^2)

(X + 4)(X - 4)(X^2 + 16) = (14X + 24)(16 - X^2)

Теперь найдем корни уравнения: (X + 4)(X - 4)(X^2 + 16) - (14X + 24)(16 - X^2) = 0

Корни уравнения: X = -4, X = 4

Чтобы определить промежуток, содержащий корни, построим знаковую таблицу для данного уравнения:

-∞ -4 4 +∞

Copy code
знак  |  +   |   -   |   +

Промежуток, содержащий корень -4, является интервалом (-∞, -4). Промежуток, содержащий корень 4, является интервалом (4, +∞).

Таким образом, промежуток, содержащий корень уравнения, это (-∞, -4) объединенное с (4, +∞).