Question

На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с периметром 2014, стороны которого проходят по линиям сетки. Какую наибольшую площадь он может иметь?

Answer 1

В общем случае периметр равен P.  Тогда одна сторона равна х, а вторая (P\2 - х)
Тогда площадь равна S(x) =  x*(P\2 - x)
Производная равна 2х - P\2. Она равна нулю при Р\4. Т.е. одна сторона равна P\4, а это автоматически означает, что вторая тоже равна Р\4.
Т.е. максимум будет при равенстве сторон, если полупериметр - четное число, в случае с нечетным полупериметром стороны должны отличаться на 1 и быть максимально близки к P\4.