Question

Вычислите интегралы (Очень нужно, заранее спасибо)

Answer 1

4)  Преобразуем подынтегральное выражение (представим в виде суммы двух слагаемых) $\frac{ x^{3}+7 x^{2} }{ x^{3} } = \frac{ x^{3} }{ x^{3} } + \frac{7 x^{2} }{ x^{3} } =1+ \frac{7}{x}$ 
Найдем интеграл от суммы
$\int\limits {1+ \frac{7} {x} } \, dx = \int\limits dx + \int\limits \frac{7} {x} } \, dx =x+7ln|x| +c$
5) пусть t=$x^{4}+6;dt=4 x^{3} dx$  Умножаем подынтегральное выражение на произведение 1\4 и 4, выносим 1\4 за знак интеграла получаем $\frac{1}{4} \int\limits{ t^{7} } \, dt= \frac{1}{4}\frac{t ^{8} }{8} +c = \frac{ ( x^{4} +6)^{8} }{32} +c$ 
6) Метод подстановки. t = sinx, cosx = $\sqrt{1- t^{2} }$, dx=$\frac{1}{ \sqrt{1- t^{2} }}$
После замены в подынтегральном выражении получаем $\int\limits {t} \, dt = \frac{t^{2} }{2}+c= \frac{ sin^{2} x}{2}+c$