Question

В коридоре висят 10 лампочек. Сколько имеется различных способов освещения коридора? У каждой лампочки свой выключатель

Answer 1

Ответ:

1023

Пошаговое объяснение:

каждой лампочке поставим в соответствие 2 числа -  0 и 1  ,

 нулю соответствует положение " выключено "  ,  а  1 -

"включено" , тогда каждому способу освещения будет

соответствовать цепочка из 10 позиций , причем на каждой

позиции будет одно из двух чисел - 0  или 1 ,      

например  1; 1; 1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 ; 1  ; 1  означает , что все включено  , а

0 ;  0  ;  0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;0 ; 0  означает , что выключены первые

4 и последние  2 ,  по правилу произведения общее число

таких строк равно $2^{10}$ , но так как все лампочки

выключены быть не могут ( одни нули быть не могут ) , то

число всех способов освещения  равно

$2^{10}$ - 1 = 1023

Answer 2

Ответ: 2^10 -1 =1023

Пошаговое объяснение:

Число вариантов  включить одну лампочку  составляет:

C (1 ,10)  

Две лампочки :

C (2 , 10)

Три  лампочки :

С(3 , 10)

k лампочек :

C(k,10)

И  так далее  от  k=1   до  k=10.

Таким образом общее число способов :

C (1 , 10) +C (2 ,10) .....+C(10,10)

Запишем эту сумму так :  

(С( 0,10)  +C (2,10) +C (3,10) ......+C(10;10) ) -1

 Из за  того что C (0 ,10)=1

Cумма  в скобках  соответствует разложению в бином Ньютона выражения :

(a+b)^10

где :  a=b=1  ( поскольку  1^n =1)

То есть :

С( 0,10)  +C (2,10) +C (3,10) ......+C(10;10) =2^10

Таким образом общее число способов осветить коридор :

N= 2^10 -1= 1024-1 =1023

2  способ.   ( Метод математической индукции)

Пусть  количество  способов осветить коридор  k лампочками равно  N.

Найдем число способов  осветить  коридор  k+1  лампочками.

Очевидно , что при рассмотрении   включенной  k+1   лампочки ,  число способов включить   другие  лампочки равно N.  Но так же сохраняются те же N способов с невключенной  k+1 лампочкой.

И  наконец остается особенный случай  когда включена только k+1   лампочка.

Таким образом число способов  осветить коридор k+1  лампочками равно :  N'=2*N+1

Учитывая , что  осветить коридор 1 лампочкой только 1 способ .  То   число способов осветить  двумя лампочками равно :   2*1+1=3= 2^2-1

Тремя лампочками :

(2^2 -1)*2+1=2^3-2+1=2^3-1

Четыремя :

2*(2^3-1)+1=2^4-1

Продолжая так  10 раз  получаем что  число способов осветить коридор 10 лампочками равно :

N= 2^10 -1  = 1023