Question

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды 4 см,оно образует с плоскостью основания угол 60 градусов.Вычислить объем пирамиды

Answer 1

Для решения этой задачи, нам нужно знать формулу объема правильной пирамиды и формулу бокового ребра правильной пирамиды. Объем правильной пирамиды равен $$V = \\frac{1}{3} S h$$, где $S$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды. Боковое ребро правильной пирамиды находится по формуле $$b = \\sqrt{h^2 + \\Big(\\frac{a}{2 \\sin(\\frac{180^\\circ}{n})}\\Big)^2}$$, где $a$ - сторона основания, а $n$ - число сторон основания. В нашем случае, основание - правильный четырехугольник, поэтому $n = 4$. Также нам дано, что боковое ребро равно $4$ см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60^\\circ$. Из этого следует, что $$\\cos(60^\\circ) = \\frac{h}{b}$$, откуда $$h = b \\cos(60^\\circ) = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2$$ см. Теперь мы можем найти сторону основания, подставив известные значения в формулу бокового ребра: $$4 = \\sqrt{2^2 + \\Big(\\frac{a}{2 \\sin(\\frac{180^\\circ}{4})}\\Big)^2}$$, откуда $$a = 2 \\sin(\\frac{180^\\circ}{4}) \\sqrt{4^2 - 2^2} \\approx 3.46$$ см. Наконец, мы можем найти площадь основания, используя формулу площади квадрата: $$S = a^2 \\approx 3.46^2 \\approx 11.97$$ см$^2$. Подставляя все найденные значения в формулу объема, получаем: $$V = \\frac{1}{3} S h \\approx \\frac{1}{3} \\cdot 11.97 \\cdot 2 \\approx 7.98$$ см$^3$. Ответ: объем пирамиды примерно равен 7.98 см$^3$. Для более подробного объяснения, вы можете посмотреть [этот сайт](https://reshak.ru/otvet/otvet6.php?otvet1=258&var=1var), [этот сайт](https://www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8/%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B0/%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D0%B0/%D0%B1%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%8B/) или [этот сайт](http://physmatica.ru/reshebniki/reshebnik-geometriya-10-11-klassy-l-s-atanasyan-dlya-10-klassa/258-bokovoe-rebro-pravilnoj-chetyrexugolnoj-piramidy-obrazuet-ugol-v-60-s-ploskostyu-osnovaniya-najdite-ploshhad-poverxnosti-piramidy-esli-bokovoe-rebro-ravno-12-sm.html).