Question

Одна из медиан треугольника делится вписанной окружностью на три равные части. Покажи-те, что одна из сторон треугольника вдвое длиннее другой.

Answer 1

Пусть треугольник ABC имеет медиану AD, которая делится вписанной окружностью на три равные части. Предположим, что сторона AB вдвое длиннее стороны AC.

Пусть точка E - точка касания вписанной окружности с стороной AB, точка F - точка касания вписанной окружности с стороной AC, и точка G - точка касания вписанной окружности с медианой AD.

Так как медиана делится вписанной окружностью на три равные части, то AG = GD.

Также, так как AD - медиана треугольника, то точка G является серединой стороны BC. Это означает, что BG = GC.

Из предположения, что AB вдвое длиннее AC, следует, что AB = AC + AC.

Теперь рассмотрим длины отрезков AD, AE, AF и AG.

Так как AG = GD, то AG = AD/2.

Так как AB = AC + AC, то AB = AE + EF + FD.

Так как AE = AF (так как они являются радиусами вписанной окружности), то AB = 2AE + FD.

Так как AB = 2AE + FD и AG = AD/2, то 2AE + FD = AD/2.

Также, так как BG = GC, то BG = GC = BC/2.

Так как AD - медиана треугольника, то BD = DC = BC/2.

Таким образом, AD = 2BD.

Теперь рассмотрим треугольник ABD.

Из предыдущих выводов, мы знаем, что AD = 2BD и AG = GD.

Но также, так как AD - медиана треугольника, то точка G является серединой стороны BD. Это означает, что BG = GD.

Таким образом, в треугольнике ABD сторона AB вдвое длиннее стороны AD.

Таким образом, мы показали, что если одна из медиан треугольника делится вписанной окружностью на три равные части, то одна из сторон треугольника вдвое длиннее другой.