Question

Диоганаль осевого сечения цилиндра равна 6 см и соствляет с плоскостью основния угол 30 градусов.Нйдите объем цилиндра.

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться геометрическими свойствами цилиндра и тригонометрии.

Дано: - Диагональ осевого сечения цилиндра \(d = 6\) см, - Угол между диагональю и плоскостью основания цилиндра \(\theta = 30^\circ\).

Обозначим радиус цилиндра как \(r\) и высоту как \(h\). Тогда диагональ можно выразить через радиус и угол:

\[d = 2r \sin(\theta)\]

Известно, что \(\sin(30^\circ) = 0.5\), поэтому у нас есть уравнение:

\[6 = 2r \cdot 0.5\]

Решим его относительно радиуса \(r\):

\[r = \frac{6}{2 \cdot 0.5} = 6\]

Теперь, когда у нас есть радиус, мы можем найти объем цилиндра, используя формулу:

\[V = \pi r^2 h\]

Поскольку радиус \(r = 6\), нам нужно найти высоту \(h\). Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением для угла \(\theta\):

\[\cos(\theta) = \frac{h}{r}\]

\[\cos(30^\circ) = \frac{h}{6}\]

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{6}\]

\[h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

Теперь, подставим значения в формулу для объема:

\[V = \pi \cdot 6^2 \cdot 3\sqrt{3}\]

\[V = 36\pi \cdot 3\sqrt{3}\]

Таким образом, объем цилиндра составляет \(108\sqrt{3}\pi\) кубических сантиметров.