Question

ABCA1B1C1 - правильная треугольная призма, в которой AB=2√3см. AA1=4см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Answer 1

Для решения данной задачи посчитаем площади всех поверхностей призмы и сложим их.

Дано:

Мы имеем треугольную призму ABCA1B1C1, в которой AB = 2√3 см и AA1 = 4 см.

Решение:

1. Найдем площадь основания призмы (площадь треугольника ABC): Для этого воспользуемся формулой площади треугольника: S = (1/2) * a * h, где a - длина основания, h - высота. В треугольнике ABC сторона AB является основанием, а высота равняется расстоянию от точки A1 до прямой BC. Так как ABC - равносторонний треугольник, то высота равна (2/3) * AA1 = (2/3) * 4 = 8/3 см. Таким образом, площадь основания равна S_осн = (1/2) * AB * h = (1/2) * 2√3 см * 8/3 см = 8√3/3 см^2.

2. Найдем площади боковых поверхностей призмы: Для этого нужно посчитать площади треугольников A1BC, AB1C и A1B1C1. Все три треугольника являются равнобедренными, поскольку все стороны призмы равны между собой. Площадь каждого бокового треугольника равна S_бок = (1/2) * a * h, где a - длина основания, h - высота.

- Для треугольника A1BC: a = AB = 2√3 см, h = AA1 = 4 см. Тогда S_бок_A1BC = (1/2) * 2√3 см * 4 см = 4√3 см^2.

- Для треугольника AB1C: a = AB = 2√3 см, h = AA1 = 4 см. Тогда S_бок_AB1C = (1/2) * 2√3 см * 4 см = 4√3 см^2.

- Для треугольника A1B1C1: a = AB = 2√3 см, h = AA1 = 4 см. Тогда S_бок_A1B1C1 = (1/2) * 2√3 см * 4 см = 4√3 см^2.

3. Найдем площадь верхней и нижней граней призмы. Обе грани являются равносторонними треугольниками со стороной AB. Площадь каждой грани равна S_верх_низ = (√3/4) * a^2, где a - длина стороны. Так как грани равносторонние, то площадь каждой грани равна S_верх_низ = (√3/4) * AB^2.

- Для верхней грани: S_верх = (√3/4) * AB^2 = (√3/4) * (2√3 см)^2 = (√3/4) * 12 см^2 = 3√3 см^2.

- Для нижней грани: S_низ = (√3/4) * AB^2 = (√3/4) * (2√3 см)^2 = (√3/4) * 12 см^2 = 3√3 см^2.

4. Найдем площадь полной поверхности призмы. Полная поверхность призмы состоит из площадей оснований и боковых граней. Площадь полной поверхности равна S_полная = 2 * S_осн + 3 * S_бок + S_верх + S_низ.

Заменим значения: S_полная = 2 * (8√3/3 см^2) + 3 * (4√3 см^2) + 3√3 см^2 + 3√3 см^2 = (16√3/3 см^2) + (12√3 см^2) + (3√3 см^2) + (3√3 см^2) = (16√3/3 + 12√3 + 3√3 + 3√3) см^2 = (34√3/3 + 9√3) см^2 = (34/3 + 9)√3 см^2 = (34/3 + 27/3)√3 см^2 = (61/3)√3 см^2.

Таким образом, площадь полной поверхности призмы ABCA1B1C1 равна (61/3)√3 см^2.