Question

периметр рівнобічної трапеції 50см, а гострий кут 60°. знайдіть площу трапеції, якщо її діагональ ділить гострий кут трапеції навпіл.

Answer 1

Периметр рівнобічної трапеції можна знайти за формулою:

P = a + b1 + b2 + c,

де a - сторона трапеції, b1 і b2 - нижні основи трапеції, c - бокова сторона трапеції.

В рівнобічній трапеції нижні основи b1 і b2 рівні, тому P = 2b + 2a, де b - одна з нижніх основ, a - сторона трапеції.

За задумом, периметр трапеції становить 50 см:

50 = 2b + 2a.

Також задано, що гострий кут трапеції рівний 60° і діагональ ділить цей кут навпіл. Оскільки гострий кут рівнобічної трапеції дорівнює гострому куту трикутника, утвореного діагоналлю й однією основою, можемо сказати, що кут між діагоналлю і однією з основ трапеції дорівнює 30°.

Завдяки цим умовам можемо розглянути трикутник, утворений діагоналлю і однією з основ трапеції. Оскільки діагональ ділить гострий кут тривалістю 30°, цей трикутник є рівностороннім, тобто всі його сторони рівні.

За теоремою косинусів можемо визначити довжину сторони трапеції a:

a^2 = c^2 + b^2 - 2bc*cos(60°) = c^2 + b^2 - bc.

Так як сторона a рівна нижній основі b (a = b), можемо скласти рівняння:

b^2 = b^2 + c^2 - bc.

Спрощуємо його:

0 = c^2 - bc.

Звідси можемо знайти, що c = b.

Підставляємо цей результат в рівняння для периметра:

50 = 2b + 2b,

50 = 4b,

b = 50/4 = 12.5 см.

Тепер можемо порахувати довжину сторони трапеції a:

a = b = 12.5 см.

Знайдемо площу трапеції за формулою:

S = (b1 + b2) * h / 2,

де h - висота трапеції.

В рівнобічній трапеції висота рівна бічній стороні трапеції c:

S = (b1 + b2) * c / 2.

Вже маємо, що b1 = b2 = b = 12.5 см і c = b = 12.5 см:

S = (12.5 + 12.5) * 12.5 / 2 = 25 * 12.5 / 2 = 312.5 / 2 = 156.25 см².

Отже, площа рівнобічної трапеції дорівнює 156.25 см².