Question

Точка F- середина стороны AD квадрата ABCD, а O- точка пересечения отрезков BD и CF. Вычислите площади треугольников AOB и FOD, если их сумма равна 65 см^2

Answer 1

Для начала, давайте воспользуемся известными свойствами квадрата. Так как точка F является серединой стороны AD, то отрезок BD будет проходить через середину стороны BC, а отрезок CF будет проходить через середину стороны CD. Пусть точка M - середина стороны BC, а точка N - середина стороны CD.

Вычисление площади треугольника AOB

Так как точка O является точкой пересечения отрезков BD и CF, то отрезок BO будет проходить через середину стороны BC (точку M), а отрезок AO будет проходить через точку O. Обратите внимание, что треугольник AOB будет прямоугольным, так как он является треугольником внутри квадрата ABCD, и стороны AO и BO являются его диагоналями.

Для вычисления площади треугольника AOB, нам понадобится длина стороны квадрата ABCD. Давайте обозначим сторону квадрата как a.

Так как точка F является серединой стороны AD, а точка M является серединой стороны BC, то отрезки FM и AM равны половине длины стороны квадрата, то есть a/2.

Теперь мы можем выразить сторону треугольника AOB через сторону квадрата ABCD и отрезок FM. Пусть сторона треугольника AOB равна x.

Тогда, согласно теореме Пифагора для треугольника AOB:

x^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 x^2 = a^2/4 + a^2/4 x^2 = a^2/2

Теперь мы можем использовать полученное выражение для площади треугольника AOB:

Площадь треугольника AOB (S_AOB) = (1/2) * x * x S_AOB = (1/2) * a^2/2 * a^2/2 S_AOB = (1/4) * a^4

Вычисление площади треугольника FOD

Теперь давайте вычислим площадь треугольника FOD. Воспользуемся тем, что треугольник FOD имеет точку O как вершину, а стороны FO и FD являются отрезками, проходящими через точку O.

Так как точка F является серединой стороны AD, а точка N является серединой стороны CD, то отрезки FN и DN равны половине длины стороны квадрата, то есть a/2.

Теперь мы можем выразить сторону треугольника FOD через сторону квадрата ABCD и отрезок FN. Пусть сторона треугольника FOD равна y.

Тогда, согласно теореме Пифагора для треугольника FOD:

y^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 y^2 = a^2/4 + a^2/4 y^2 = a^2/2

Теперь мы можем использовать полученное выражение для площади треугольника FOD:

Площадь треугольника FOD (S_FOD) = (1/2) * y * y S_FOD = (1/2) * a^2/2 * a^2/2 S_FOD = (1/4) * a^4

Вычисление суммы площадей треугольников AOB и FOD

По условию задачи сумма площадей треугольников AOB и FOD равна 65 см^2:

S_AOB + S_FOD = 65

Подставляя выражения для площадей треугольников AOB и FOD:

(1/4) * a^4 + (1/4) * a^4 = 65

Упрощая уравнение:

(1/2) * a^4 = 65

Переносим коэффициент (1/2) на другую сторону уравнения:

a^4 = 65 * 2

a^4 = 130

Вычисление длины стороны квадрата

Чтобы найти длину стороны квадрата, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

a = √(a^4)

a = √(130)

a ≈ 5.74

Таким образом, длина стороны квадрата ABCD составляет примерно 5.74 см.

Вычисление площадей треугольников AOB и FOD

Теперь, когда мы знаем длину стороны квадрата, мы можем вычислить площади треугольников AOB и FOD.

Подставим значение a в выражения для площадей треугольников:

S_AOB = (1/4) * (5.74)^4 S_AOB ≈ 23.8 см^2

S_FOD = (1/4) * (5.74)^4 S_FOD ≈ 23.8 см^2

Таким образом, площади треугольников AOB и FOD составляют примерно 23.8 см^2 каждая.