Question

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ВCP, равен 60, тангенс угла ВАС равен 4/3. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC. ___________________________ Заранее спасибо♡

Answer 1

Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r.

Так как радиус окружности, вписанной в треугольник ВCP, равен 60, то по свойству вписанных углов угол ВАС равен половине угла ВСР, где Р - точка касания окружности с стороной ВС.

Пусть угол ВСР равен α, тогда угол ВАС равен α/2.

Также, по определению тангенса, tg(α/2) = 4/3.

Используя свойство тангенса половинного угла, можно записать:

tg(α/2) = (1 - cos α) / sin α,

где cos α = CP / BC, sin α = PC / BC.

Подставляя значения sin α и cos α, получаем:

4/3 = (1 - CP / BC) / (PC / BC).

Умножим обе части уравнения на (3BC/PC):

4BC = 3BC - 3CP.

Выразим CP:

3CP = BC.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то BC = AC * cos α, где α - угол АСВ.

Также, по свойству прямоугольного треугольника, tg α = AC / BC = 4/3.

Решим уравнение:

tg α = 4/3,

AC / BC = 4/3,

AC / (3AC) = 4/3,

1/3 = 4/3,

3 = 4.

Полученное уравнение не имеет решений.

Следовательно, задача не имеет решения.