Question

высота цилиндра, полная поверхность которого равна 500пи, больше радиуса поверхности на 5.Найти отношения боковой поверхности к радиусу?

Answer 1

Давайте обозначим высоту цилиндра через \(h\), а радиус его основания — через \(r\). Мы знаем, что полная поверхность цилиндра равна \(500\pi\), что можно записать следующим образом:

\[2\pi r^2 + 2\pi rh = 500\pi.\]

Также из условия задачи нам известно, что радиус поверхности больше радиуса основания на 5:

\[r_{\text{поверхности}} = r_{\text{основания}} + 5.\]

Мы знаем, что боковая поверхность цилиндра выражается формулой \(2\pi rh\), поэтому отношение боковой поверхности к радиусу (\(h/r\)) можно записать следующим образом:

\[\frac{h}{r} = \frac{2\pi rh}{2\pi r^2}.\]

Теперь давайте решим систему уравнений. Сначала подставим \(r_{\text{поверхности}} = r + 5\) в уравнение для полной поверхности цилиндра:

\[2\pi (r + 5)^2 + 2\pi (r + 5)h = 500\pi.\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[2\pi (r^2 + 10r + 25) + 2\pi (r + 5)h = 500\pi.\]

Уберем лишние множители \(\pi\):

\[2(r^2 + 10r + 25) + 2(r + 5)h = 500.\]

Раскроем скобки:

\[2r^2 + 20r + 50 + 2rh + 10h = 500.\]

Упростим уравнение и приведем его к стандартному виду:

\[2r^2 + 2rh + 20r + 10h - 450 = 0.\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 2r^2 + 2rh + 20r + 10h - 450 = 0, \\ r_{\text{поверхности}} = r + 5. \end{cases}\]

Решим эту систему уравнений для нахождения \(r\) и \(h\). После этого, подставим полученные значения в формулу \(\frac{h}{r}\), чтобы найти отношение боковой поверхности к радиусу.