Question

Стороны треугольника ABC пересечены прямой MN, которая паралельна AC. Периметры треугольниика ABC и треугольника MBN относятся как 3 : 1. Площадь треугольника ABC равна 144. Чему равна площадь треугольника MBN?

Answer 1

Давайте обозначим длины сторон треугольника ABC через a, b и c, а высоту из вершины B на сторону AC через h.

Таким образом, площадь треугольника ABC можно выразить как \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \).

Из условия известно, что прямая MN параллельна стороне AC. Таким образом, треугольники ABC и MBN подобны, и их стороны пропорциональны. Обозначим соответствующие длины сторон треугольников как \( k \cdot a \), \( k \cdot b \) и \( k \cdot c \), где \( k \) - коэффициент пропорциональности.

Из условия также известно, что периметры треугольников относятся как 3:1, поэтому:

\[ a + b + c : (k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c) = 3 : 1. \]

Решим это уравнение относительно \( k \):

\[ a + b + c = 3k \cdot a + 3k \cdot b + 3k \cdot c \]

\[ a + b + c = (3k) \cdot (a + b + c) \]

\[ 3k = 1 \]

\[ k = \frac{1}{3} \]

Теперь мы можем записать длины сторон треугольника MBN:

\[ MB = \frac{1}{3} \cdot a \] \[ BN = \frac{1}{3} \cdot b \] \[ MN = \frac{1}{3} \cdot c \]

Теперь мы можем выразить площадь треугольника MBN, используя те же формулы для площади треугольника ABC:

\[ S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot b \cdot h = \frac{1}{6} \cdot S_{ABC} \]

Так как площадь треугольника ABC равна 144, то:

\[ S_{MBN} = \frac{1}{6} \cdot 144 = 24 \]

Итак, площадь треугольника MBN равна 24.