Question

Дан параллелограмм ABC, со сторонами  3 и 5 и углом A=60. Найдите скалярное произведение векторов AB и АD. Запишите не только ответ, но и ход решения.

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о скалярном произведении векторов и тригонометрии. Начнем с построения параллелограмма ABC.

Построение параллелограмма ABC

1. Начнем с выбора точки A в произвольном месте. 2. Построим отрезок AB длиной 3, который будет первой стороной параллелограмма. 3. Из точки B проведем отрезок BC под углом 60 градусов к отрезку AB. 4. Проведем отрезок AC параллельно отрезку BD.

Теперь у нас есть параллелограмм ABC с заданными сторонами и углом.

Нахождение скалярного произведения векторов AB и AD

Для нахождения скалярного произведения векторов AB и AD, нам нужно знать координаты этих векторов. Поскольку в задаче даны только длины сторон параллелограмма, мы можем воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти эти координаты.

1. Найдем длину стороны AC с помощью теоремы косинусов: - AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(A) - AC² = 3² + 5² - 2 * 3 * 5 * cos(60°) - AC² = 9 + 25 - 30 * cos(60°) - AC² = 34 - 30 * 0.5 - AC² = 34 - 15 - AC² = 19 - AC ≈ sqrt(19)

2. Разложим вектор AB на компоненты по осям x и y: - ABx = AB * cos(A) = 3 * cos(60°) = 1.5 - ABy = AB * sin(A) = 3 * sin(60°) = 2.598

3. Разложим вектор AC на компоненты по осям x и y: - ACx = AC * cos(60°) = sqrt(19) * cos(60°) ≈ 4.358 - ACy = AC * sin(60°) = sqrt(19) * sin(60°) ≈ 3

4. Теперь мы можем выразить вектор AD через вектор AB и вектор AC: - ADx = ACx - ABx = 4.358 - 1.