Question

Найдите стороны прямоугольного треугольника , в котором: а) гипотенуза равна 10 см, разность катетов - 2 см; б) гипотенуза равна 26 см, а отношение катетов 5 ÷ 12.

Answer 1

Для решения этих задач я буду использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Обозначим катеты за x и y, а гипотенузу за c.

а) Если гипотенуза равна 10 см, а разность катетов - 2 см, то можно составить систему уравнений:

$$ \begin{cases} c^2 = x^2 + y^2 \\ x - y = 2 \end{cases} $$

Подставив в первое уравнение c = 10, получим:

$$ \begin{cases} 100 = x^2 + y^2 \\ x - y = 2 \end{cases} $$

Выразим x через y из второго уравнения: x = y + 2. Подставим это в первое уравнение и решим квадратное уравнение относительно y:

$$ 100 = (y + 2)^2 + y^2 \\ 100 = y^2 + 4y + 4 + y^2 \\ 2y^2 + 4y - 96 = 0 \\ y^2 + 2y - 48 = 0 \\ (y + 8)(y - 6) = 0 $$

Отсюда y = -8 или y = 6. Отрицательное значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной. Значит, y = 6. Тогда x = y + 2 = 6 + 2 = 8. Итак, катеты равны 6 см и 8 см.

б) Если гипотенуза равна 26 см, а отношение катетов 5 ÷ 12, то можно составить систему уравнений:

$$ \begin{cases} c^2 = x^2 + y^2 \\ \frac{x}{y} = \frac{5}{12} \end{cases} $$

Подставив в первое уравнение c = 26, получим:

$$ \begin{cases} 676 = x^2 + y^2 \\ \frac{x}{y} = \frac{5}{12} \end{cases} $$

Выразим x через y из второго уравнения: x = \frac{5}{12}y. Подставим это в первое уравнение и решим квадратное уравнение относительно y:

$$ 676 = \left(\frac{5}{12}y\right)^2 + y^2 \\ 676 = \frac{25}{144}y^2 + y^2 \\ 676 = \frac{169}{144}y^2 \\ y^2 = \frac{676 \cdot 144}{169} \\ y^2 = 576 \\ y = \pm \sqrt{576} $$

Отсюда y = -24 или y = 24. Отрицательное значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной. Значит, y = 24. Тогда x = \frac{5}{12}y = \frac{5}{12} \cdot 24 = 10. Итак, катеты равны 10 см и 24 см.