Question

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30 градусов. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 1089.

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать связь между углами и сторонами равнобедренного треугольника. В данном случае, у нас имеется равнобедренный треугольник, и угол при вершине, противолежащей основанию, равен 30 градусов.

Нахождение основания треугольника

Поскольку треугольник равнобедренный, то у него две равные стороны. Обозначим боковую сторону треугольника через x, а основание через y. Так как угол при вершине, противолежащей основанию, равен 30 градусов, то остальные два угла треугольника равны 75 градусов каждый (поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Нахождение высоты треугольника

Для нахождения высоты треугольника, мы можем разделить его на два прямоугольных треугольника, образованных высотой и базой (основанием) треугольника. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты треугольника.

В прямоугольном треугольнике, гипотенуза соответствует боковой стороне треугольника (x), а угол между гипотенузой и основанием треугольника равен 75 градусов.

Таким образом, высота треугольника (h) равна `x * sin(75)`.

Нахождение площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты. В данном случае, площадь треугольника равна 1089, поэтому мы можем записать уравнение:

`(y * h) / 2 = 1089`

Решение уравнения

Теперь, когда у нас есть уравнение, содержащее две неизвестные (y и h), мы можем подставить выражение для высоты треугольника в уравнение площади и решить его.

`y * (x * sin(75)) / 2 = 1089`

Мы также можем заменить sin(75) на cos(15), поскольку sin(75) равен cos(15) по формуле тригонометрии: sin(x) = cos(90 - x).

`y * (x * cos(15)) / 2 = 1089`

Теперь мы можем решить уравнение относительно y:

`y = (1089 * 2) / (x * cos(15))`

Нахождение боковой стороны треугольника

Теперь у нас есть выражение для основания треугольника (y), зависящее от боковой стороны (x). Мы можем подставить это выражение в уравнение для площади треугольника и решить его относительно x.

`(1089 * 2) / (x * cos(15)) * (x * sin(75)) / 2 = 1089`

После упрощения и сокращения, мы получим:

`sin(75) * cos(15) = x^2`

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x:

`x = sqrt(sin(75) * cos(15))`

Подставляя значения sin(75) ≈ 0.96592582628 и cos(15) ≈ 0.96592582628, мы получаем:

`x ≈ sqrt(0.96592582628 * 0.96592582628) ≈ 0.96592582628`

Таким образом, боковая сторона треугольника равна примерно 0.96592582628.