Question

Знайдіти кут між дотичною і хордою які проведені з одної точки кола і діаметр дорівнює двом хордам

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі нам знадобиться використати кілька властивостей кола та геометричні розгляди.

Нехай \(O\) - центр кола, \(AB\) - діаметр, \(M\) - середина діаметра, \(T\) - точка дотику, \(C\) і \(D\) - точки, в яких дотична перетинає коло (див. малюнок).

Малюнок: ``` A | | | O / \ / \ / \ M/ \B / \ / \ / \ / \ C D \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / T ```

Зауважимо, що трикутники \(OCT\) і \(ODT\) прямокутні, оскільки вони є прямокутними трикутниками, де відповідні кути в \(O\) прямі (властивість кола).

За теоремою про кут між касательною і хордою, ми знаємо, що кут між касательною і хордою в точці дотику дорівнює куту, утвореному хордою і діаметром, проведеним через точку дотику. Отже, ми можемо записати:

\[ \angle OCT = \angle ODT \]

Оскільки трикутники \(OCT\) і \(ODT\) прямокутні, кути при вершинах \(C\) і \(D\) також однакові, тобто:

\[ \angle TCO = \angle TDO \]

Оскільки сума кутів в трикутнику дорівнює 180 градусів, то ми можемо записати:

\[ \angle OTC + \angle TCO + \angle ODT + \angle TDO = 180^\circ \]

Підставляючи вирази для \(\angle OCT\) і \(\angle TCO\), ми отримаємо:

\[ \angle OTC + \angle ODT + \angle TDO = 180^\circ \]

Оскільки кути при вершинах трикутника сумуються до 180 градусів, ми можемо записати:

\[ \angle OTC + \angle ODT + (180^\circ - \angle OTC) = 180^\circ \]

Спростимо вираз:

\[ \angle ODT = \angle OTC \]

Таким чином, кути між дотичною та хордою з обох сторін дорівнюють один одному.