Question

высота правильной четырёхугольной призмы равна 4,а диагональ корень из 34.Чему равна площадь боковой поверхности?

Answer 1

Давайте обозначим параметры правильной четырёхугольной призмы:

- \( h \) - высота призмы, - \( d \) - длина диагонали основания (диагональ четырёхугольника, который является основанием призмы).

В данном случае \( h = 4 \) и \( d = \sqrt{34} \).

Площадь боковой поверхности \( S \) правильной четырёхугольной призмы можно выразить формулой:

\[ S = P \cdot h \]

где \( P \) - периметр основания призмы.

Так как у нас четырёхугольное основание, то периметр \( P \) можно выразить как сумму длин его сторон:

\[ P = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \]

Теперь давайте рассмотрим одну боковую грань призмы. Это треугольник со сторонами \( a_1 \), \( h \) и \( d \) (где \( a_1 \) - длина одной стороны основания). С использованием теоремы Пифагора, мы можем выразить \( a_1 \) следующим образом:

\[ a_1 = \sqrt{d^2 - h^2} \]

Таким образом, периметр \( P \) можно записать как:

\[ P = \sqrt{d^2 - h^2} + \sqrt{d^2 - h^2} + \sqrt{d^2 - h^2} + \sqrt{d^2 - h^2} \]

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для площади боковой поверхности:

\[ S = P \cdot h \]

\[ S = ( \sqrt{d^2 - h^2} + \sqrt{d^2 - h^2} + \sqrt{d^2 - h^2} + \sqrt{d^2 - h^2} ) \cdot h \]

Подставим известные значения \( h = 4 \) и \( d = \sqrt{34} \):

\[ S = ( \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 4^2} + \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 4^2} + \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 4^2} + \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 4^2} ) \cdot 4 \]

Выполним вычисления:

\[ S = ( \sqrt{34 - 16} + \sqrt{34 - 16} + \sqrt{34 - 16} + \sqrt{34 - 16} ) \cdot 4 \]

\[ S = ( \sqrt{18} + \sqrt{18} + \sqrt{18} + \sqrt{18} ) \cdot 4 \]

\[ S = ( 2\sqrt{18} + 2\sqrt{18} ) \cdot 4 \]

\[ S = 4 \cdot 4\sqrt{18} \]

\[ S = 16\sqrt{18} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна \( 16\sqrt{18} \).