Question

периметр параллелограмма равен 66 см, а один из его углов равен 30°. две стороны 2:9. Найдите площадь этого параллелограмма.

Answer 1

Для нахождения площади параллелограмма сначала определим его стороны. Пусть \(a\) и \(b\) будут длинами сторон, а \(\alpha\) — углом между этими сторонами. Известно, что один из углов параллелограмма равен \(30^\circ\), а периметр равен 66 см. Также известно, что соотношение длин двух сторон равно 2:9.

Пусть \(a\) — длина более короткой стороны, а \(b\) — длина более длинной стороны. Тогда мы можем записать следующую систему уравнений:

1. Уравнение для периметра: \[2a + 2b = 66.\]

2. Уравнение для соотношения длин сторон: \[\frac{a}{b} = \frac{2}{9}.\]

Решим эту систему уравнений.

Умножим обе стороны второго уравнения на \(b\): \[a = \frac{2}{9}b.\]

Подставим это выражение в первое уравнение: \[2\left(\frac{2}{9}b\right) + 2b = 66.\]

Упростим и решим уравнение: \[\frac{4}{9}b + 2b = 66.\]

Переведем всё в общий знаменатель (9): \[4b + 18b = 594.\]

\[22b = 594.\]

\[b = \frac{594}{22}.\]

\[b = 27.\]

Теперь найдем \(a\): \[a = \frac{2}{9} \times 27 = 6.\]

Таким образом, стороны параллелограмма равны \(a = 6\) см и \(b = 27\) см.

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма, используем следующую формулу: \[S = a \times h,\]

где \(h\) — высота параллелограмма. Высоту параллелограмма можно найти, используя формулу: \[h = b \times \sin(\alpha).\]

Здесь \(\alpha = 30^\circ\), а \(b = 27\) см.

\[h = 27 \times \sin(30^\circ).\]

\[\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}.\]

\[h = 27 \times \frac{1}{2} = 13.5.\]

Теперь, подставив значения \(a\) и \(h\) в формулу для площади, получим: \[S = 6 \times 13.5 = 81 \, \text{см}^2.\]

Итак, площадь параллелограмма равна \(81 \, \text{см}^2\).