Question

В треугольнике АВС сторона ВС разделена на четыре равные части ВЕ=ЕF=FG=GC, а АВ – на три ВК=КД=ДА Площадь треугольника АВС = 120. Найдите площадь треугольника ДЕF

Answer 1

Для нахождения площади треугольника DEF мы можем воспользоваться следующими фактами:

1. Сумма площадей всех треугольников, образованных внутри большого треугольника ABC, равна его площади. То есть:

Площадь треугольника ABC = Площадь треугольника DEF + Площадь треугольника EFG + Площадь треугольника FGC + Площадь треугольника GCD + Площадь треугольника CDA.

2. Если отрезок разделен на несколько равных частей, то площадь треугольника, образованного этими отрезками и сторонами треугольника, будет пропорциональна квадратам этих отрезков.

Теперь давайте применим эти факты к нашей задаче.

Из условия задачи мы знаем, что сторона BC разделена на четыре равные части: BE, EF, FG и GC, а сторона AB разделена на три равные части: BK, KD и DA.

Пусть x обозначает длину отрезка BC (или EF, FG, GC), а y обозначает длину отрезка AB (или BK, KD, DA).

Таким образом, мы имеем следующие соотношения:

BE = EF = FG = GC = x BK = KD = DA = y

Также известно, что площадь треугольника ABC равна 120.

По факту 2, мы знаем, что площадь треугольника DEF будет пропорциональна квадрату длины отрезка EF.

Поэтому, чтобы найти площадь треугольника DEF, нам необходимо выразить длину отрезка EF через x и y, а затем использовать это выражение для нахождения площади треугольника DEF.

Из условия задачи, мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 120. Запишем это в виде уравнения:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * AB * BC * sin(∠BAC) = 120.

Так как AB = 3y и BC = 4x, мы можем переписать уравнение следующим образом:

(1/2) * 3y * 4x * sin(∠BAC) = 120.

Применим это к площади треугольника DEF:

Площадь треугольника DEF = (1/2) * EF * DF * sin(∠EDF).

Подставим EF = x/4 и DF = 3y - 3x/4 в это уравнение:

Площадь треугольника DEF = (1/2) * (x/4) * (3y - 3x/4) * sin(∠EDF).

Теперь мы можем использовать первый факт, чтобы выразить площадь треугольника DEF через площади других треугольников внутри треугольника ABC:

120 = Площадь треугольника DEF + Площадь треугольника EFG + Площадь треугольника FGC + Площадь треугольника GCD + Площадь треугольника CDA.

Заметим, что треугольники EFG, FGC, GCD и CDA являются прямоугольными треугольниками, и их площади могут быть вычислены с использованием соответствующих длин отрезков. Например, площадь треугольника EFG равна (1/2) * EF * FG.

Подставим значения длин отрезков, которые мы знаем, и решим уравнение относительно площади треугольника DEF.