Question

В четырехугольник, стороны которого 1, 2, 3 и 4 , вписана окружность и около него описана окружность. Найдите на меньшую диагональ четырехугольника.

Answer 1

Симпатичное условие. :))

То, что в 4угольник можно вписать окружность, сразу определяет порядок сторон.

1,2,4,3 (обход по часовой стрелке).

Суммы противоположных сторон должны быть равны.

На самом деле, возможны еще перестановки, но они отличаются от этой поворотом или зеркальным отражением, то есть эквивалентны этой. Можете их все перебрать, нарисовать - и увидите :).

На этом техническая простота заканчивается - раз этот 4угольник можно вписать в окружность, то сумма противоположных углов равна 180 градусов - поскольку они опираются на дуги, дополняющие друг друга до полной окружности. 

Интуитивно понятно, углы между большими сторонами будут меньше - это утверждение ничего не меняет в решении, так что его можно не читать :)

Пусть диагонали d1и d2;

Введем обозначения для косинусов углов (обратите внимание, что именно я обозначаю!) между сторонами. 

Пусть косинус угла между сторонами 2 и 4 равен x - тогда косинус угла между сторонами 1 и 3  равен -х; (потому что сумма этих углов 180 градусов)

d1^2 = 4^2 + 2^2 - 2*2*4*x = 1^2 + 3^2 + 2*1*3*x;

отсюда x = 5/11; d1^2 = 140/11;

Аналогично, пусть косинус угла между сторонами 3 и 4 равен y; тогда косинус угла между сторонами 1 и 2  равен -y; 

d2^2 = 4^2 + 3^2 - 2*3*4*y = 1^2 + 2^2 + 2*1*2*y;

отсюда y = 5/7; d2^2 = 55/7;

Ясно, что d2 - меньшая диагональ, она равна √(55/7)

 

Я не уверен, что вы знаете, что cos(x) = - cos(180 - x), но теорему косинусов для случая тупых углов должны были проходить. Так что с чередованием знака все должно быть понятно.