Question

По данным двум сторонам и углу между ними найдите третью сторону и остальные два угла треугольника: a=8 см, b=15 см, угол гамма=120 градусов

Answer 1

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.Тогда пусть третья сторона - х

по теореме имеем

х^2=8^2+15^2-2*8*15*cos(120)=64+225-2*8*15*(-0.5)=289+120=409

следовательно х=корень из 409

также есть теорема Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е.

$\frac{\sqrt{409}}{sin 120}=\frac{8}{sin x}\\\\ sin x=\frac{8\cdot sin120}{\sqrt{409}}=\frac{8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{409}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{409}}\\\\ x=arcsin\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{409}}$

так как сумма углов в треугольнике равно 180 градусов то третий угол равен 60-$arcsin\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{409}$